- 12. Новый подход к определению и анализу компонент волатильности и финансовых индексов
12. Новый подход к определению и анализу компонент волатильности и финансовых индексов
НОВЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ И АНАЛИЗУ КОМПОНЕНТ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ФИНАНСОВЫХ ИНДЕКСОВ
Виктор Королев, доктор физико-математических наук, профессор, заместитель декана заместитель декана факультета ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова
В работе, ставшей основой для настоящей статьи, предлагается новый подход к определению и анализу волатильности финансовых индексов, в частности биржевых цен. Этот подход основан на многомерной интерпретации волатильности. Базой описываемого подхода является представление распределений приращений логарифмов финансовых индексов в виде смесей нормальных законов.
Пpоблема постpоения математических моделей, описывающих динамику биpжевых цен, пpивлекала, пpивлекает и, несомненно, еще долго будет пpивлекать внимание многих математиков. В связи с тем, что на финансовых рынках обращается огромное количество денежных средств, проблема анализа движений биржевых цен становится еще более актуальной. В современных макроэкономических условиях противоборства тенденций глобализации и многополярности наблюдается заметное увеличение интенсивности колебаний биржевых цен, на которое воздействуют как динамические, более или менее успешно прогнозируемые причины, так и случайные, практически не поддающиеся прогнозированию факторы. Изменчивость биржевых цен принято называть волатильностью. Задача более тонкого анализа волатильности, необходимого для адекватного оценивания рисков вложения в те или иные активы, приобретает первостепенную важность.
В настоящее время на финансовых рынках существует множество инвесторов, перед каждым из которых стоит задача максимизации прибыли, то есть каждому участнику торгов необходимо наиболее точно спрогнозировать будущую цену того или иного актива. Из-за различий в оценках будущей стоимости и происходят колебания биржевых цен. На прогнозы участников рынка влияет очень большое количество факторов: новости, макроэкономические данные, отчеты компаний об итогах их деятельности, оценки стоимости компаний ведущими инвестиционными домами. Частота появления таких факторов различна, из чего следует неоднородность колебания биржевых цен. Неоднородность также наблюдается и внутри торгового дня. Следовательно, характеристика изменчивости (волатильность) также неоднородна и зависит от времени.
Существует большое количество различных методов оценки волатильности, основные из которых приведены ниже. В рамках наиболее продвинутых моделей предполагается, что волатильность меняется во времени и, соответственно, представляет собой случайный процесс. В рассматриваемой работе показано, что волатильность на самом деле обусловлена взаимодействием нескольких случайных процессов, каждый из которых описывает определенную компоненту изменчивости, обусловленную влиянием определенного фактора (группы факторов), в поведении биржевой цены. Таким образом, можно перейти от одномерного восприятия волатильности к многомерному.
В рамках нового подхода традиционная интерпретация исторической (статистической) волатильности дополняется новой информацией о трендах и диффузиях. Более того, эта новая информация оказывается двоякой: с одной стороны, приобретается возможность учитывать направление и величину трендов, а также интенсивность диффузий, с другой стороны, оказывается возможным учитывать важность имеющихся трендов и диффузий. Сам факт того, что о трендах и диффузиях говорится во множественном числе, указывает на нечто принципиально новое в методах анализа волатильности, а именно, для описания волатильности используется ее многомерное представление в терминах «компонент волатильности» и их «весов».
До сих пор волатильность описывалась с помощью скалярной величины, интерпретируемой либо как коэффициент диффузии базового процесса, либо, что ближе к реалиям, как среднее (в определенном смысле) значение абсолютной величины приращения базового процесса. На основе асимптотической теории обобщенных дважды стохастических пуассоновских процессов (обобщенных процессов Кокса) можно обосновать целесообразность моделирования распределений приращений логарифмов процессов, описывающих динамику финансовых индексов, с помощью смесей нормальных законов. Каждое приращение интерпретируется как реализация «случайной» случайной величины. При этом смешивающее распределение задает вероятности, с какими приращение будет реализацией той или иной случайной величины. Каждая из этих случайных величин имеет свое математическое ожидание, свое стандартное отклонение и соответствующий вес – меру «важности». Таким образом, описание волатильности базового процесса сводится к описанию упомянутых параметров.
Если распределение приращений индекса (или его логарифма) описывается общей сдвиг-масштабной смесью нормальных законов, то описание волатильности соответствует заданию распределения параметров сдвига и масштаба. Однако в таком случае интерпретация волатильности затруднена, так как та характеристика, которая традиционно считается скалярной, становится функциональной. Хотя их трактовка остается в принципе той же самой, конечные смеси более наглядно интерпретируемы: если распределение приращений индекса (или его логарифма) описывается конечной сдвиг-масштабной смесью нормальных законов, то волатильность можно задать с помощью вектор-функции с тремя типами компонент: первый тип соответствует весам, два других содержат, соответственно, параметры сдвига и параметры диффузии смешиваемых нормальных законов.
В рассматриваемой работе показано, что если в качестве модели неоднородного случайного блуждания, описывающего данный процесс эволюции финансового индекса, используются обобщенные процессы Кокса, то вид смешивающего распределения полностью определяется поведением накопленных интенсивностей и, следовательно, статистическими закономерностями изменений мгновенных (локальных) интенсивностей элементарных (допредельных) процессов. Мгновенные интенсивности случайных блужданий с непрерывным временем тесно взаимосвязаны с мгновенными коэффициентами диффузии и мгновенными трендами. В свою очередь мгновенные коэффициенты диффузии и мгновенные тренды характеризуют типы «механизмов» (циклических, периодических, тенденциозных или с более сложным поведением), которые явно или неявно определяют функционирование финансового рынка (следует особо отметить, что под «механизмом» здесь подразумевается не физическая или экономическая структура, но абстрактная закономерность или под-процесс). Напротив, каждый тип «механизма» характеризуется своей собственной мгновенной интенсивностью изменений. Можно считать, что в дискретных смесях нормальных законов параметры сдвига и масштаба каждой компоненты определяют тип соответствующего «механизма», в то время как вес компоненты определяет долю «механизма» соответствующего типа в общей структуре рынка, так что веса компонент могут считаться характеристикой силы влияния «механизмов» на поведение рынка в целом по сравнению с другими «механизмами».
Таким образом, статистическое оценивание параметров смеси дает возможность, во-первых, выделить типические «механизмы» или структуры в функционировании анализируемой сложной системы (финансового рынка) и, во-вторых, оценить их относительную важность (или силу влияния).
Общая схема статистического анализа хаотических стохастических процессов, описывающих эволюцию финансовых индексов, предлагаемая в данной работе, такова:
1. Асимптотический подход, основанный на предельных теоремах для обобщенных дважды стохастических пуассоновских процессов как моделей неоднородных хаотических случайных блужданий естественно приводит к заключению о том, что аппроксимации для распределений (логарифмов) приращений процессов эволюции финансовых индексов следует искать в виде общих сдвиг-масштабных смесей нормальных законов, в которых смешивающий закон определяется накопленной (интегральной) интенсивностью потоков соответствующих информативных событий (элементарных скачков, «тиков»).
2. Проблема статистической реконструкции распределений приращений упомянутых процессов сводится к задаче статистического оценивания смешивающего распределения, которое является параметром этой задачи.
3. В самой общей постановке задача статистического оценивания смешивающего распределения является некорректной, так как общие сдвиг-масштабные смеси нормальных законов не являются идентифицируемыми. Таким образом, в рамках общего принципа регуляризации некорректных задач, исходная задача заменяется задачей отыскания решения наиболее близкого к истинному в классе конечных дискретных сдвиг-масштабных смесей нормальных законов. Эта «редуцированная» задача уже является корректной и имеет единственное решение, так как семейство конечных дискретных сдвиг-масштабных смесей нормальных законов идентифицируемо. При этом возникает необходимость исследования свойства устойчивости упомянутых смесей относительно смешивающего закона с тем, чтобы зная оценки устойчивости вычислить погрешности, образующиеся при замене исходной задачи редуцированной. При упомянутой регуляризации происходит автоматическое выделение типичных или более или менее устойчивых структур в эволюции финансового рынка. Для решения задачи оценки параметров конечных сдвиг-масштабных смесей нормальных законов в общем случае используется ЕМ-алгоритм.
4. Представление распределений (логарифмов) приращений процессов эволюции финансовых индексов или процессов плазменной турбулентности в виде конечных сдвиг-масштабных смесей нормальных законов естественно приводит к многомерной интерпретации волатильности рассматриваемого процесса и к возможности разложения волатильности на динамическую и диффузионные компоненты.
5. Статистические закономерности поведения рассматриваемых процессов, формализованные в пункте 1, изменяются во времени, результатом чего является отсутствие универсального смешивающего закона. Таким образом, для того чтобы изучить динамику изменения статистических закономерностей в поведении исследуемого хаотического процесса, задача статистического разделения конечных смесей нормальных законов должна быть последовательно решена на интервалах времени, постоянно сдвигающихся в направлении «астрономического» времени. Тем самым параметры смесей (параметры сдвига (дрейфа) и масштаба (диффузии)) оцениваются как функции времени. При этом естественно возникают задачи, связанные как с выбором подходящих методов оценивания параметров сдвига и масштаба, так и с выбором оптимальных параметров вычислительных процедур, реализующих эти методы: начального приближения, ширины скользящего интервала (окна), правил остановки и другого.
6. Наконец, для адекватной интерпретации результатов и для идентификации феноменологически выделенных (статистически оцененных) компонент, то есть для адекватного сопоставления статистически оцененных компонент с реальными процессами или явлениями, необходимо из многих возможных моделей выбрать наиболее адекватную, например проверить, является выделенная динамическая компонента волатильности статистически значимой или нет. С этой целью целесообразно использовать информационные критерии типа критерия Акаике (AIC).
Необходимо заметить, что, как следует из вышесказанного, предлагаемый метод анализа волатильности финансовых индексов, который можно назвать методом скользящего разделения смесей (СРС-методом), вбирает в себя много статистических процедур. Несмотря на то, что СРС-метод имеет очень серьезные теоретические основания, такие как предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса, оценки устойчивости специальных представлений вероятностных распределений в виде смесей нормальных законов и результаты о сходимости ЕМ-алгоритма, все же некоторые элементы метода основаны скорее на здравом смысле, нежели на строгих математических результатах. Поэтому к СРС-методу надо относиться как к довольно гибкому средству анализа данных, нежели как к идеальному математическому инструменту. Применение этого метода к реальным данным в большей степени представляет собой творчество, нежели серийное производство. Однако эти слова ни в коей мере не должны испугать или разочаровать читателя. Напротив, при умелом применении СРС-метод обладает большой силой, реально работает и дает информативные результаты.