- Мюнхенская цепная лестница
Мюнхенская цепная лестница
Метод резервирования, при котором достигается сходство прогнозов, основанных на данных по оплаченным и по заявленным убыткам[1]
Томас Мак, Dr,
Перевод с немецкого Елены Курносовой
Резюме
Для оценки резерва произошедших, но не заявленных убытков обычно используются два различных вида данных, организованных в форме треугольника развития: треугольник оплаченных убытков и треугольник заявленных убытков. При этом почти всегда прогнозы окончательной суммы убытков, построенные на разных треугольниках, не совпадают, несмотря на реальную согласованность оплаченных и заявленных убытков в конце периода развития. В настоящей статье эта проблема разбирается на примере метода цепной лестницы. Показано, что различие прогнозов обусловлено игнорированием существующей зависимости двух треугольников. Одновременно выясняется, как учитывать эту зависимость, чтобы приблизить два прогноза друг к другу. Получаемый таким образом новый метод резервирования назван «мюнхенской цепной лестницей». Соответствующая этому методу стохастическая модель может быть представлена в форме взвешенной линейной регрессии. Это позволяет проверить справедливость предположений модели в отношении конкретных данных, а также определить точность прогноза.
1. Введение и обзор
Расчет резерва произошедших, но не заявленных убытков может осуществляться как на основании треугольника оплаченных убытков, так и на основании треугольника заявленных убытков. Однако несмотря на имеющее в реальности место совпадение итоговых уровней заявленного и оплаченного убытка в конце срока развития, их прогнозные значения, построенные на двух видах треугольников, могут сильно различаться. Причем в одних годах событий прогноз по оплаченным убыткам дает более высокий результат, чем по заявленным убыткам, в других наоборот. Зачастую прогнозы оказываются настолько разными, что актуарию сложно принять решение. Много лет актуарии всего мира жили с этой проблемой, пока мой коллега из Мюнхенского перестраховочного общества Герхард Кварг в 2004 году не установил причину несоответствия.
При более детальном анализе было выявлено, что между двумя треугольниками – заявленных и оплаченных убытков – существует связь, которая обычно не учитывается при проведении двух прогнозов изолированно друг от друга. В настоящей статье это показано на примере метода цепной лестницы. Обнаружилось, что во многих годах развития размеры индивидуальных множителей развития зависят от соотношения между оплаченным и заявленным убытками, непосредственно им предшествующими. Степень этой зависимости определяется конкретными данными и должна быть соответствующим образом учтена при построении прогноза. Решению этой задачи служит мюнхенский метод цепной лестницы, позволяющий приблизить друг к другу прогнозы, основанные на заявленных и оплаченных убытках, в той же мере, в какой приближены друг к другу наблюдаемые данные двух треугольников развития. Иными словами, если в самых отдаленных годах события заявленные убытки близки к оплаченным, то такой же результат достигается и при прогнозировании с помощью мюнхенской цепной лестницы.
Мюнхенская цепная лестница представляет собой ничто иное как обобщение метода цепной лестницы в том смысле, что при отсутствии упомянутой выше зависимости между наблюдаемыми данными автоматически получается такой же прогноз, как и по обычному методу цепной лестницы.
2. Классический метод цепной лестницы и проблема несогласованности оценок окончательного убытка
Пусть Cik – кумулятивный уровень убытка (оплаченного или заявленного) года события i, 1 ≤ i ≤ n, спустя k лет развития. Тогда Ci,n+1-i – текущее состояние убытка, и Ri := Cin – Ci,n+1-i сумма еще не известных убытков (в предположении, что полное развитие убытков занимает n лет). Задача резервирования заключается в том, чтобы спрогнозировать неизвестные Ri и их сумму.
Треугольник развития
Год события |
Год развития | ||||||
1 |
… |
k |
… |
n+1-i |
… |
n | |
1 |
C11 |
… |
C1k |
… |
C1,n+1-i |
… |
C1n |
… |
… |
|
… |
|
… |
|
|
i |
Ci1 |
… |
Cik |
… |
Ci,n+1-i |
|
|
… |
… |
|
… |
|
|
|
|
n+1-k |
Cn+1-k,1 |
… |
Cn+1-k,k |
|
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
n |
Cn1 |
|
|
|
|
|
|
В классическом методе цепной лестницы принимается мультипликативное разложение
Cin = Ci1∙Fi2∙…∙Fin, Fik = Cik/Ci,k-1,
и предположение сходства E(Fik) = fk для всех лет событий i = 1, …, n в каждом году развития k. Неизвестные параметры fk оцениваются посредством взвешенного усреднения индивидуальных множителей развития Fik:
.
Прогноз будущих состояний убытка осуществляется по формуле
, k > n+1-i,
откуда следует формула оценки резерва
.
Этот метод может быть обоснован в рамках стохастической модели (Т. Мак, 1993), позволяющей определить точность прогноза.
Обычно метод цепной лестницы применяется отдельно к двум различным треугольникам развития:
· треугольнику оплаченных убытков, развивающихся медленно, но стабильно;
· треугольнику заявленных убытков, значения которого менее стабильны, но быстрее приближаются к конечному состоянию (заявленные убытки = выплаты + резервы заявленных убытков).
Обозначим теперь уровень оплаченного убытка через Cik, уровень заявленного убытка через Dik, а соответствующие множители развития через fk и gk, т.е.
.
Как можно наблюдать, оценки конечного убытка и всегда так или иначе различаются, несмотря на имеющее место в реальности равенство Cin = Din. Следующая теорема показывает, что это не случайность, а неизбежное следствие используемого способа расчета. В целях сокращения записи для отношения Cik/Dik оплаченного убытка к заявленному будет использоваться обозначение «О/З».
Основная теорема.
При раздельном прогнозировании по методу цепной лестницы на основании оплаченных и заявленных убытков соотношение между О/З , k ≥ n+1-i и соответствующим этому году развития средним по всем годам событий остается неизменным для каждого года события i. Точнее говоря, имеет место равенство
для всех k > n+1-i.
Доказательство.
Для упрощения записи формул обозначим := Cik при i+k ≤ n+1. Тогда
.
Аналогично для D-треугольника. С помощью этого равенства оценки параметров и могут быть выражены через суммы, образованные по всем годам событий:
,
Это позволяет нам получить следующее представление отношения О/З некоторого будущего года развития k > n+1–i:
= .
Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы. □
Для пояснения рассмотрим пример. На рисунке 1 изображено развитие наблюдаемых отношений О/З некоторого портфеля. Как можно видеть, отношения О/З стремятся к 100%, т.е. наиболее отдаленные годы событий – а только по ним строятся точки с 12 по 15 год развития – практически полностью развились. Кроме того на рисунок в форме средней линии нанесено (взвешенное) среднее отношений О/З.
Рис. 1. Наблюдаемые отношения О/З в зависимости от года развития
Применим теперь к каждому из двух треугольников метод цепной лестницы и изобразим отношения О/З прогнозируемых уровней убытка аналогично рисунку 1. Эти точки показаны красным цветом на рисунке 2. Мы видим, что прогнозные значения отношений О/З не сходятся к 100%. Более того, их отношение к средней линии всегда одинаково: если в каком-то году события первое прогнозное отношение О/З расположилось под средней линией, то оно до конца останется на таком же расстоянии ниже среднего; если же первое прогнозное отношение О/З некоторого года события оказалось выше среднего, то и все последующие будут настолько же превышать уровень средней линии.
Рис. 2. Отношения О/З в зависимости от года развития при раздельном прогнозировании по методу цепной лестницы.
Основная теорема одновременно дает понять, как избежать расходимости отношений О/З. Если значение Ci,n+1-i/Di,n+1-i ниже среднего, то для достижения среднего уровня голубой линии отношение О/З должно расти сильнее, чем в среднем, т.е. числитель должен возрастать быстрее, чем в среднем, и/или знаменатель медленнее, чем в среднем. Для отношений О/З, изначально превышающих среднее, все наоборот. Справедливость этого следствия тоже можно проверить с помощью данных. Наблюдаемые индивидуальные множители развития {Fik} и/или {Gik} не должны (при фиксированном k) чисто случайно рассеиваться вокруг некоторых средних значений fk и gk. Если отношение О/З Ci,k-1/Di,k-1 ниже среднего, то Fik должны быть скорее выше среднего и/или Gik ниже среднего. На рисунке 3 представлена зависимость Gi2, 1 ≤ i ≤ n-1, от О/З-отношений Ci1/Di1. Вертикальная линия соответствует среднему значению отношения О/З 50,2%; горизонтальная линия – среднему значению множителя развития = 1,38. Нетрудно заметить положительный тренд. Это означает, что при низких значениях О/З преобладают низкие индивидуальные множители развития Gi2, в то время как при высоких значениях О/З почти всегда наблюдаются высокие индивидуальные множители развития Gi2. Такое расположение точек в точности соответствует следствию из основной теоремы.
Рис. 3. Индивидуальные множители развития Gi2 в зависимости от О/З-отношений Ci1/Di1
Соответственно, зависимость значений Fi2 = Ci2/Ci1 от Ci2/Ci1 должна проявлять скорее отрицательный тренд. Однако для последующего стохастического моделирования очень важно, чтобы в знаменателе обоих отношений стояли одни и те же величины, т.е. множителю Fi2 = Ci2/Ci1 соответствовало не О/З-отношение Ci2/Ci1, а отношение заявленного убытка к оплаченному (далее – «З/О») Di1/Ci1. Тогда тренд приобретает противоположный характер. (Это мой самый существенный вклад в работу Кварга/Мака 2004 года). На рисунке 4 изображена зависимость значений Fi2 от З/О-отношений Di1/Ci1. Она действительно явно демонстрирует положительный тренд. Таким образом, при низком значении О/З Ci1/Di1, т.е. высоком значении З/О Di1/Ci1, получается высокий индивидуальный множитель развития Fi2, как и следует из приведенной выше основной теоремы.
Рис. 4. Индивидуальные множители развития Fi2 в зависимости от З/О-отношений Di1/Ci1
3. Вывод и описание метода мюнхенской цепной лестницы (МЦЛ)
Из предыдущих рассуждений вытекает, что при наличии обоих треугольников: оплаченных и заявленных убытков – первоначальная модель цепной лестницы E(Fik) = fk, E(Gik) = gk должна быть модифицирована так, чтобы множители Fik = Cik/Ci,k-1 и Gik = Dik/Di,k-1 (линейно) зависели от Di,k-1/Ci,k-1 или соответственно от
Ci,k-1/Di,k-1. Таким образом, наряду с само собой разумеющимся предположением
где := {Ci1, …, Ci,k-1} {Di1, …, Di,k-1}.
То же самое можно переписать в виде
(МЦЛ2’) ,
.
Из формулировки предположения (МЦЛ2) ясно, что речь идет о двух обычных линейных регрессиях. Как и в модели классической цепной лестницы, разумно исходить из гетероскедастичной регрессии, т.е.
(МЦЛ3) ,
.
В условиях предположений МЦЛ 1 – 3 оценки по методу наименьших квадратов для неизвестных параметров имеют вид
,
где
(без ),
,
и
(как в обычной цепной лестнице),
.
Формулы для получаются простой заменой C на D. Следует обратить внимание, что в формуле среднего З/О-отношения суммирование ведется не по всем имеющимся в распоряжении данным, а за исключением стоящего на диагонали отношения Dn+1-k,k/Cn+1-k,k, поскольку из-за треугольной формы данных соответствующий индивидуальный множитель развития Cn+2-k,k/Cn+1-k,k еще не известен.
На основании предположения (МЦЛ2’) получаются следующие формулы для прогноза будущих состояний убытка:
,
,
со стартовыми значениями и
Несколько комментариев к изложенному методу.
(1) Второе представление формул для прогнозных значений убытка получается из первого подстановкой приведенных выше выражений для или, соответственно , в которых задействованы оценки классического метода цепной лестницы и, соответственно, . Это второе представление показывает, что мюнхенская цепная лестница содержит только один корректирующий компонент по сравнению с классической цепной лестницей, который зависит от того, находится ли отношение З/О выше или ниже соответствующего среднего значения Qk.
(2) Прогноз осуществляется пошагово: только после вычисления обоих значений и может строиться оценка для следующего года развития k+1. Это и в самом деле напоминает цепную лестницу (chain ladder), в которой соединяются друг с другом два развития.
(3) Стартовое значение Cn1 = 0, которое при обычном методе цепной лестницы ведет к бессмысленному прогнозу, в мюнхенской цепной лестнице не представляет проблемы, поскольку обычно Dn1 > 0.
(4) Мюнхенская цепная лестница имеет на каждый год развития каждого треугольника на один параметр больше, чем обычная цепная лестница, а именно, параметр наклона bk. В последнем году развития он не может быть оценен на основании единственного наблюдения. В годах развития, близких к последнему, формула оценки тоже опирается на малое количество данных, так что могут получиться нереалистичные (например, отрицательные) значения оценки. Здесь, как правило, требуются ручные корректировки или дополнительное моделирование. Во втором случае имеет смысл предположить для последних лет развития k > k0 единичный коэффициент корреляции между Fi,k+1 и Dik/Cik, а также между Gi,k+1 и Cik/Dik, как это описано в оригинальной работе Кварга / Мака 2004 г., где также содержится полноценный числовой пример.
(5) Значения совсем не обязательно должны быть ненулевыми для всех лет развития и обоих треугольников. Корректировка в связи отклонением отношений О/З в ту или иную сторону от среднего может затрагивать только определенные годы развития или только один из двух треугольников. Зачастую более значимо отличается от нуля, чем . Это означает, что прирост суммы оплаченных убытков сильнее зависит от значения З/О, чем изменение суммы заявленных убытков.
(6) Прогнозирование по методу мюнхенской цепной лестницы не обязательно дает результат для каждого года события i. В частности, это не будет выполняться в том случае, если данные самых отдаленных лет событий еще содержат значительные резервы заявленного убытка. Но в любом случае с помощью мюнхенской цепной лестницы получается более надежный результат, чем при изолированном применении обычной цепной лестницы к двум треугольникам, поскольку в последнем случае вообще не учитывается связь между выплатами и резервами заявленного убытка. И даже в редком случае, когда никакой взаимной зависимости данных двух треугольников и в самом деле нет, мы просто получим все = 0, и мюнхенская цепная лестница даст точно такой же результат, как и цепная лестница.
(7) На основании предположений модели мюнхенской цепной лестницы МЦЛ 1 – 3 можно также определить точность прогноза, которая складывается из случайной ошибки Var(Cin | Ai,n+1-i) и оценочной ошибки Var(| Ai,n+1-i); аналогично для Din.
Рисунок 5 иллюстрирует применение метода мюнхенской цепной лестницы и построен по аналогии с рисунком 2 (изолированное применение обычной цепной лестницы к двум треугольникам). Как можно видеть, прогнозные красные точки как и синие точки наблюдений стремятся к синей средней линии, т.е. отношению О/З = 100%.
Результаты, отображенные на рисунках 2 и 5, для сравнения сведены на рисунке 6. Желтые столбики – это окончательные значения отношений О/З по 15-ти годам событий, полученные при раздельном применении цепной лестницы (SCL), а синие столбики – при использовании мюнхенской цепной лестницы (MCL). В то время как значения отношений О/З при раздельной цепной лестнице колеблются между 60% и 155% (как и на рисунке 2), отношения О/З мюнхенской цепной лестницы почти не отклоняются от 100%. Только в 8 м и 9-м годах событий они чуть ниже 100%.
4. Заключение
Накопленный нами опыт применения мюнхенской цепной лестницы к портфелям разных стран показывает, что почти во всех видах страхования и во всех странах существуют значимые связи между индивидуальными множителями развития и соответствующими отношениями О/З, пусть не в каждом году развития и каждом из двух треугольников. Поэтому мюнхенская цепная лестница должна обязательно присутствовать в стандартном инструментарии каждого актуария, занимающегося расчетом резервов. Тот, кто несмотря на наличие обоих видов треугольников (оплаченных и заявленных убытков) все равно применяет к ним изолированно обычную цепную лестницу и получает значительно различающиеся прогнозы конечного убытка, отстает от современного уровня развития в данной области актуарной науки.
5. Литература и контактная информация
1) T. Mack (1993). Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates. ASTIN Bulletin 23, 213-225.
2) G. Quarg, T. Mack (2004).
Вопросы по этой статье можно задать по адресу: tmack@gmx.net (на английском языке) или kurnosovaes@uralsib.ru (на русском языке).
По материалам доклада на V Международной конференции «Обязательное страхование гражданской ответственности владельцев транспортных средств в Российской Федерации: тарификация и регулирование. Первый конгресс актуариев СНГ» 27 ноября 2008