- Выпуск 4
- Экономико-математическая модель системы социального страхования
Экономико-математическая модель системы социального страхования
СОДЕРЖАНИЕ
С точки зрения актуария, социальное страхование от профессиональных рисков существенно сложней чем, например, пенсионное страхование. В пенсионной системе возраст выхода на пенсию регламентирован законом, а в системе социального страхования время наступления страхового случая — то есть заболевания — случайно. Кроме того, развитие болезни также носит случайный характер. Понятно, что здоровье пострадавшего на производстве может со временем как улучшаться, так и ухудшатся. Наконец, он может полностью реабилитироваться или умереть. Все это создает большую неопределенность финансового анализа системы социального страхования.
В мировой практике актуарные расчеты такого рода страховых систем традиционно опираются на весьма сложную экономико-математическую модель, называемую моделью многих состояний. Такая модель позволяет максимально учитывать указанные особенности системы социального страхования — возможность выбытия из совокупности застрахованных по нескольким причинам, включая различные виды заболевания и смерть пострадавшего, а также возможность возврата в совокупность застрахованных в результате реабилитации. В общем случае модель системы социального страхования включает k совокупностей: пребывание в первой интерпретируется как здоровое состояние, в k-ой — смерть, а в какой-либо совокупности с номером от 2 до k-1 — как заболевание определенной тяжести.
В российской системе социального страхования от профессиональных рисков в качестве характеристики состояния здоровья пострадавшего используется интегральный показатель — оцент утраты трудоспособности. Теоретически этот показатель непрерывно изменяется от 0 до 100%, что серьезно усложняет страховую модель. Поэтому обычно задачу сводят к дискретной, используя только определенные значения процента утраты трудоспособности — например 0, 20, 40, 60, 80, и 100. Однако мы использовали другую шкалу: "здоров" и три группы инвалидности, заменив таким образом процент утраты трудоспособности на показатель, связанный с ним корреляционно (см. рис. 1).
Такая замена была обусловлена рядом причин. Во-первых, статистическая информация по страховым рискам, связанным с заболеваемостью и возмещением вреда пострадавшим на производстве, представлена в государственной и ведомственной статистической отчетности весьма скромно, да и та, как правило, дифференцируется не по проценту утраты трудоспособности, а по группам инвалидности. Во-вторых, структура статистики, необходимой для модели многих состояний, такова, что собрать ее в результате единовременной акции принципиально невозможно. Поэтому настоящее исследование изначально предусматривает использование разнородной априорной информации.
Рис. 1. Среднее значение процента утраты трудоспособности в зависимости от группы и причины инвалидности.
Принципиальная схема системы социального страхования представлена на рис. 2. Эта схема удовлетворительно согласуется со схемой, регламентируемой действующим Федеральным законом N125-ФЗ. Основные различия этих схем связаны с наличием в государственной системе социального страхования дополнительных опций, включая пенсионные выплаты иждивенцам, "вдовьи" пенсии и т.д. Однако это различие не принципиально, так как, ввиду аддитивности страховых тарифов, соответствующие надбавки (есть надбавки к тарифам, обеспечивающие страховое покрытие указанных опций), могут быть рассчитаны независимо, на основе дополнительных страховых схем.
Для адекватного описания процесса страхования и решения задач, возникающих на всех его этапах, необходимо оценить вероятности перехода из одной совокупности в другую . На рис. 2 направления соответствующих переходов обозначены стрелками. В актуарной практике в качестве математического аппарата модели многих состояний обычно используется аппарат теории марковских процессов. Применительно к системе социального страхования, основным допущением этой теории является то, что будущее индивида зависит лишь от его пола, возраста и физического состояния в данный момент времени.
В настоящей работе рассматривается модель такого типа, адаптированная к российским условиям и, в первую очередь, к имеющейся и доступной статистической информации. Разработанная общая математическая модель системы социального страхования является моделью марковского типа с четырьмя возвратными состояниями: "здоров" и "инвалид I, II и III группы", и одним поглощающим состоянием — "мертв".
Неоднородный по времени марковский процесс 
описывает изменение состояний индивидуумов в зависимости от возраста x. Ясно, что применительно к задаче социального страхования процесс S(x) должен быть непрерывным и с конечным числом состояний. Такие процессы полностью описываются переходными вероятностями 
то есть вероятностями нахождения индивидуума в возрасте x+ t в состоянии j при условии, что в возрасте x он находился в состоянии i. В случае i=k, когда речь идет об умерших, очевидно
то есть возврат из совокупности умерших невозможен. На схеме (см. рис. 2) соответствующие переходы изображены пунктирной линией.
Рис. 2. Принципиальная схема модели многих состояний.
В случае страховых моделей с непрерывным временем наравне с переходными вероятностями удобно использовать соответствующие силы (интенсивности) перехода из состояния i в состояние j индивидуума в возрасте x за бесконечно малый промежуток времени. Силы перехода могут быть определены как 
ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА СТРАХОВЫХ ТАРИФОВ
Актуарные расчеты страховых тарифов обычно базируются на использовании уравнения стоимости:
Ожидаемая текущая стоимость дохода = Ожидаемая текущая стоимость затрат
Доход страховщика (в данном случае — Фонда социального страхования) от страхования профессиональных рисков поступает в виде премий. Для упрощения алгебраических выкладок предположим, что премии поступают ежегодно в течение n лет, начиная с возраста x. Премия Pt за t-ый год, уплачивается в момент t-1, где t=1,2,..., n. Эта премия не вносится, если застрахованный болен в момент t-1, то есть в начале t-го года.
Затраты состоят из:
- возмещения на смерть Dtk, выплачиваемого в t-м году, если смерть индивида x наступила в t-м году;
- единовременного возмещения по болезни Ctj, выплачиваемого в t-м году, если трудовое увечье или профессиональное заболевание индивида x наступило в t-м году, где t=1,2... n;
- возмещения по болезни Btk, выплачиваемого в конце t-го года, если индивид x в этот момент жив и находится в состоянии j, где t=1,2,3..., j=2,..., k-1.
Положив, что в начале действия полиса индивид x находится в состоянии "здоров", с учетом изложенного можно записать уравнение стоимости в виде:
Ожидаемая текущая стоимость премий =
Ожидаемая текущая стоимость возмещения на смерть + Ожидаемая текущая стоимость возмещения по болезни
Рассмотрим отдельные составляющие уравнения стоимости. Учитывая, что потоки страховых взносов и выплат рассредоточены во времени, а стоимость денег в различное время различна, то рассматриваемые денежные потоки можно сравнивать лишь после их приведения к единому возрасту x посредством дисконтирования (умножения на дисконтный множитель v в соответствующей степени). Поскольку премии Pt платятся в момент t-1>n, если индивид x в этот момент находится в состоянии "здоров", то ожидаемая текущая стоимость премий равна
Учитывая, что размер премии Pt = p*c, где p — страховой тариф, а Ct — размер заработной платы в момент t-1, то последнее выражение можно переписать в виде
Поскольку возмещение на смерть выплачивается в момент t <= n, если индивид x был жив в момент t-1 и умер в промежутке от t-1 до t, или в момент t>1, если индивид x, кроме того, был болен в промежутке от n до t, то ожидаемая текущая стоимость возмещения на смерть равна
Поскольку возмещение по болезни выплачивается в момент t <= n, если индивид x был жив в этот момент и находился в состоянии j=2,..., k-1, или в момент t>1, если индивид x, кроме того, был болен в промежутке от n до t, то ожидаемая текущая стоимость возмещения по болезни равна
Единовременное возмещение по болезни выплачивается, если трудовое увечье или профессиональное заболевание наступило в момент t <= n, и ожидаемая текущая стоимость соответствующего возмещения равна
Таким образом, получены выражения для ожидаемой текущей стоимости премии, возмещения на случай смерти и болезни, являющиеся отдельными составляющими уравнения стоимости. Задав подходящий набор предположений (базис), это уравнение позволяет рассчитать актуарную величину страховых тарифов для обязательного социального страхования от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний по формуле
Важным преимуществом разработанной модели системы социального страхования является то, что в основе расчета страховых тарифов лежит уравнение стоимости. Поскольку в модели явно присутствует современная стоимость потока страховых взносов и выплат, то это позволяет использовать результаты расчетов для анализа альтернативных вариантов системы социального страхования. Например, страхования не рисков утраты трудоспособности, а ответственности работодателя по риску неисполнения обязательств по возмещению вреда пострадавшим на производстве.
Применения модели многих состояний к страхованию от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний предусматривает использование ряда актуарных предположений относительно рисков заболеваемости и смертности, уровня доходности инвестиций и ожидаемой стоимости издержек, связанных с данным видом страхования.
Обычно такие предположения опираются на имеющуюся статистическую информацию, но при этом, как правило, используются весьма консервативные оценки, обеспечивающие гарантированное превышение размера премий и процентов от их инвестирования над страховыми выплатами и издержками. Поэтому проблема полноты и достоверности исходных данных является весьма существенной, особенно, когда речь идет о системах обязательного социального страхования.
В настоящее время сбор статистики, так или иначе связанной с травматизмом на производстве и профессиональными заболеваниями, на государственном уровне производится Госкомстатом России, Фондом социального страхования РФ и Трудовой инспекцией при Министерстве труда и социального развития РФ. Однако эта статистика была сформирована еще для нужд системы возмещения работодателем вреда, причиненного работникам увечьем, профессиональным заболеванием либо иным повреждением здоровья, связанным с исполнением ими трудовых обязанностей, действующей до 2000 года, и не полностью удовлетворяет требованиям новой российской системы социального страхования от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний.
Поэтому в настоящей работе изучение актуарной базы расчета страховых тарифов в основном использовались данные специальных медико-социологических исследований, проведенных в рамках настоящего проекта, а также данные:
— государственной экономической, социальной и демографической статистики, а также статистики труда;
— информационной системы "Пенсионеры" ГИВЦ г . Москвы;
— медико-социологического исследования потребности общего контингента инвалидов г . Москвы в различных видах реабилитации, проведенного ЦИЭТИН в 1995-1996 годах.;
— RLMS — Российского мониторинга экономического положения и здоровья населения, проведенного Центром народонаселения Университета Северной Каролины (США), Институтом социологии РАН и Институтом питания РАМН;
— социологического опроса, проведенного участниками проекта в 1999 году в г . Рыбинске;
— зарубежной актуарной статистики и статистики труда.
На основе анализа этой информации для ряда параметров модели были определены их расчетные значения, для других — только диапазон их возможного изменения, в котором варьировались значения этих параметров при проведении актуарных расчетов.
СТРАХОВЫЕ ТАРИФЫ ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ ТАРИФОВ
Законом N125 ФЗ профессиональный риск определен как вероятность повреждения (утраты) здоровья или смерти застрахованного, связанная с исполнением им обязанностей по трудовому договору (контракту) и в иных установленных законом случаях. Очевидно, что чем выше эта вероятность, тем выше уровень производственного травматизма, профессиональной заболеваемости и расходов на обеспечение по страхованию, сложившихся в отраслях (подотраслях) экономики, т .е., в терминах все того же закона, профессиональный риск определяет класс профессионального риска, от которого, в свою очередь, зависит дифференциация тарифов по отраслям экономики. Поэтому вопрос оценки класса профессионального риска является принципиальным. Рассмотрим его более подробно.
Прежде всего, сделаем некоторые предположения. Во-первых, будем считать, что течение болезни не зависит от того, на каком производстве (отрасли) произошел несчастный случай или профессиональное заболевание, а определяется исключительно возрастом и полом пострадавшего, изначальной тяжестью заболевания и нозологией. Во-вторых, положим, что форма половозрастного распределения частоты несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний не зависит от типа производства.
Рис. 3. Зависимость максимального страхового тарифа от возраста застрахованного.
При сделанных предположениях профессиональный риск в модели многих состояний определяется только интенсивностью переходов из состояния "здоров" в состояние "инвалид" I, II или III группы и вероятностью смерти в результате несчастного случая на производстве. Причем интенсивности переходов 
, j=2,..., k-1 для различных производств и отраслей будут отличаться лишь на некий множитель 
, в общем случае зависящий от возраста x, т.е. 
где 
— максимальная интенсивность переходов, соответствующая производству, на котором уровень профессионального риска таков, что с вероятностью единица каждый работник этого производства в течение трудовой жизни становится инвалидом. Заметим, что именно этому случаю соответствуют данные медико-социологического обследования инвалидов по трудовым увечьям и профессиональным заболеваниям, проведенного в рамках настоящего исследования, т.к. в выборку включались лица, уже ставшие инвалидами по одной из указанных причин.
Для того, чтобы рассчитать интенсивности переходов для конкретного производства, необходимо научиться вычислять множитель R, который с определенными оговорками можно считать показателем класса профессионального риска.
Обратимся к приведенной ранее оценке максимального правдоподобия интенсивностей переходов в виде 
где N1j -совокупное число переходов из состояния "здоров " в состояние j, наблюдавшихся в возрастном интервале (x, x+1); W1 — суммарное время, которое проведено в состоянии "здров" лицами, возраст которых принадлежит исследуемому интервалу (x, x+1). Перепишем эту формулу для случая, когда в процессе трудовой деятельности не все, а только часть работников становится инвалидами в виде цепочки равенств
где 
— суммарное время, которое проведено в состоянии "здров" будущими инвалидами, возраст которых принадлежит исследуемому интервалу (x, x+1); 
— аналогичное время, рассчитанное для лиц, которые не будут инвалидами. Откуда следует
Последнее равенство означает, что показатель класса профессионального риска R приближенно равен доли работников, которые станут инвалидами по причине трудового увечья или профессионального заболевания. Очевидно, что значение R может быть легко оценено по данным производственной статистики.
Таким образом, предложен весьма простой и естественный показатель класса профессионального риска, позволяющий легко рассчитывать соответствующие риски заболеваемости, а следовательно, и страховые тарифы, дифференцированные по производствам и отраслям.
Прежде всего, обратимся к рис. 3 на котором приведены результаты расчета максимального страхового тарифа, соответствующего максимальным интенсивностям переходов в зависимости от возраста застрахованного. Расчет тарифа осуществлялся раздельно для каждой из составляющих страховых выплат: по случаю смерти, постоянных и единовременных выплат по случаю заболевания, а также определялся суммарный страховой тариф.
Анализ рисунка показывает, что основной вклад в суммарный страховой тариф вносят периодические страховые выплаты по случаю болезни, включая ежемесячные страховые выплаты застрахованному и оплату дополнительных расходов, которые условно можно считать периодическими выплатами (даже в совокупности). При этом заметим, что тариф, обусловленный единовременным страховым возмещением по случаю смерти или болезни застрахованного, на порядок меньше тарифа, покрывающего постоянные выплаты. Это весьма важно, т.к. при последующих расчетах дифференцированных страховых тарифов по производствам и отраслям мы игнорируем соответствующее изменение вероятности наступления несчастного случая со смертельным исходом, но это не приведет к сколь либо значимой ошибке суммарного страхового тарифа.
Рис. 4. Суммарный нормативный страховой тариф в зависимости от возраста застрахованного и класса профессионального риска.
Ранее было показано, что страховой тариф зависит от большого числа параметров, а поэтому его представление в виде графиков от одной переменной (того, который представлен на рис. 3) не очень информативно. Для того чтобы исправить ситуацию, обратимся к выражению для расчета страховых тарифов, полученному в разделе "Экономико-математическая модель системы социального страхования"
и вспомним принятые нами соглашения о структуре и размерах страховых выплат (См. раздел "Экономический базис")
Теперь, выражение для расчета страхового тарифа можно представить в виде
где ED, EB и ECS ожидаемые текущие стоимости страхового возмещения, рассчитанные при единичных значениях коэффициентов 
, 
, 
, соответственно
Такое представление страхового тарифа удобно для финансового анализа системы социального страхования, т.к. в этом случае тариф линейно зависит от основных экономических факторов — размера страховых выплат выраженного в долях заработной платы, а в качестве коэффициентов выступают "нормативные" страховые тарифы, покрывающие отдельные риски (см. выражение для расчета страхового тарифа). Эти "нормативные" тарифы, в общем случае, зависят от ряда социально — демографических факторов, включая возраст и пол застрахованного, интенсивности смертности и заболеваемости, динамику роста заработной платы, уровень инфляции, ставку инвестиционного дохода и пр.
В табл. 1-3 приведены "нормативные" страховые тарифы, покрывающие страховые выплаты в случае смерти и заболевания (инвалидности) застрахованного в зависимости от его возраста и класса профессионального риска производства (отрасли), рассчитанные для случая оптимистической заработной карьеры.
На рис. 4 в дополнение к таблицам приведен суммарный страховой тариф. Видно, что тариф слабо зависит от возраста застрахованного, особенно это касается малых классов профессионального риска. Рассмотрим пример расчета страхового тарифа с использованием данных, приведенных в табл. 1-3.
Таблица 1. Нормативный тариф, покрывающий единовременное страховое возмещение по случаю смерти
Таблица 2. Нормативный тариф, покрывающий периодическое страховое возмещение по случаю заболевания (инвалидности)
Таблица 3. Нормативный тариф, покрывающий единовременное страховое возмещение по случаю заболевания (инвалидности)
Пусть требуется рассчитать страховой тариф для лица, поступившего в возрасте 30 лет на предприятие, имеющее класс профессионального риска R=1.0%. При условии, что в случае смерти застрахованного в результате травмы на производстве или профессионального заболевания страховое возмещение будет составлять десятикратный размер заработной платы. В случае наступления инвалидности — единовременная выплата также составит десятикратный размер заработной платы, а периодические (включая компенсацию утраченного заработка и дополнительные расходы) — трехкратный размер заработной платы, рассчитанные в соответствии со степенью утраты профессиональной трудоспособности.
Итак, тариф, покрывающий страховое возмещение по случаю смерти, рассчитанный с использованием данных табл. 1, равен 10 * 0,000250 = 0,0025.
Тариф, покрывающий периодическое страховое возмещение по случаю заболевания (см. табл . 2), равен 3 * 0,003097 = 0,009291, a тариф, покрывающий единовременное возмещение (см. табл. 3), равен 10 * 0,000157 = 0,00157.
Суммарный страховой тариф определяется как сумма его отдельных составляющих, т.е. 
= 0,0025 + 0,009291 + 0,00157.
Таким образом, для рассмотренного в примере случая суммарный страховой тариф приблизительно равен 1,3% размера заработной платы работника.
*Выдержка из монографии "Страхование от несчастных случаев на производстве: актуарные основы", подготовленной коллективом сотрудников Центра под научным руководством д.ф.-м.н., профессора В. Н. Баскакова.
Книга посвящена проблемам перевода системы социальной защиты работников от профессиональных рисков на страховые принципы.
Страховые тарифы, впервые установленные в 2000 году конкретным предприятиям только на основе их принадлежности к той или иной группе отраслей (подотраслей) экономики, отличаются значительной неадекватностью. Это привело к порочной практике перекрестного субсидирования предприятий высокорисковых отраслей за счет низкорисковых. Предлагаемые в настоящее время варианты для решения данной проблемы, связанные с дальнейшим расширением числа классов профессионального риска, повышением значения страховых тарифов верхних десяти-пятнадцати классов профессионального риска, а также замена Общесоюзного классификатора отраслей народного хозяйства (ОКОНХ) на Общероссийский классификатор видов экономической деятельности (ОКВЭД), способны только смягчить возникшие перекосы.
Кардинально решить проблему установления оптимальных, справедливых страховых тарифов возможно только при помощи актуарных методов, основанных на оценке фактического производственного риска на каждом конкретном предприятии.
В монографии предложена такая методика актуарных расчетов, проведены расчеты страховых тарифов для альтернативных форм организации системы страхования вреда по трудовым увечьям и профессиональным заболеваниям, что позволит включить негосударственных страховщиков в систему обязательного социального страхования и тем самым повысить конкуренцию в данной сфере; в ней также оценена потребность в реабилитации инвалидов. Предлагаемая методика может быть использована и для расчета скидок и надбавок, устанавливаемых к страховым тарифам. Работа содержит актуарные таблицы заболеваемости и смертности инвалидов.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся проблемами обязательного социального страхования от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний в России, и прежде всего на специалистов промышленных предприятий и страховых компаний.
Издание осуществлено издательством "АКАДЕМИЯ" при финансовой поддержке Страховой компании "AIG Россия" и Военно-страховой компании. Заявки принимаются по телефонам: 263-63-76, 255-63-08.
