English version

• Интервальные оценки резерва убытков в страховании ином, чем страхование жизни

Интервальные оценки резерва убытков в страховании ином, чем страхование жизни

Елена Дмитревская, старший актуарий ОСАО «Ингосстрах»

Введение

Резервирование является одной из основных функций актуария в страховой компании. Расчет обязательств страховщика необходим для адекватной оценки его финансового положения, поэтому основные формы отчетности включают в себя показатели страховых резервов. Конечными пользователями подобного рода отчетности могут быть как внешние органы (надзор), так и внутренние структуры (менеджмент компании).

Отдельной задачей является оценка резерва убытков – неисполненных обязательств страховщика по осуществлению страховых выплат по убыткам, произошедших в отчетном или предшествующих отчетному периодах. Существует несколько широко известных методов оценки резерва убытков: метод цепной лестницы (Chain ledder method или CLM), метод Борнхуэттера – Фергюсона (Bornhuetter-Ferguson), его модификация, называемая методом Бенктандера (Benktander) и т.д. Общим среди этих методов является то, что все они являются «точечными», т.е. результатом их применения является число. Однако понятно, что этот результат – всего лишь прогноз величины будущих выплат, и как любой прогноз, он может быть сделан с той или иной степенью точности.

Целью данной работы является краткий обзор и иллюстрация результатов применения двух наиболее распространенных методов интервальных оценок резерва: метод, предложенный Томасом Маком в работе «Measuring the Variability of Chain Ladder Reserve Estimates», а также метод, известный как «бутстрап» (вootstrap). Полное описание методов в том виде, в котором они были реализованы, можно найти в [1] и [2].

 Исходные данные

В качестве исходных данных в обоих методах используется треугольник развития оплаченных убытков. Для практической реализации была взята модельная статистика выплат по портфелю договоров страхования автотранспорта, характерная для данного вида. Отдельно был рассмотрен вариант страхования рисков ответственности (ОСАГО), отдельно – вариант страхования рисков «ущерб» и «угон» (КАСКО). Для удобства данные были нормированы в условные единицы. Используемые данные приведены в табл. 1, 2. 

Метод Т. Мака

Метод работает в предположении, что для оценки резерва убытков к имеющемуся треугольнику развития применим метод цепной лестницы. Иными словами, предполагается, что фактический треугольник является некоторым случайным возмущением «правильного» треугольника развития, все столбцы которого пропорциональны друг другу. Коэффициенты пропорциональности в соответствии со сложившейся терминологией, называются факторами развития. В своей работе Мак предлагает три способа выбора факторов развития:

– средневзвешенный по всем периодам (классический метод CLM);

– среднеарифметический;

– среднеквадратичный.

Также допускается при расчете средних использовать произвольные веса, чтобы снизить влияние отдельных всплесков в индивидуальных факторах развития (или вовсе исключить их).

Для каждого из способов выбора факторов развития (в т.ч. и с весами) Мак в явном виде выводит формулу оценки дисперсии (среднеквадратичного отклонения) для величины резерва убытков, полученной с помощью CLM. Математическим ожиданием резерва убытков будет являться резерв, вычисленный по методу CLM.

Сам по себе метод Мака не дает никакой информации о функции распределения резерва убытков, оцениваются только параметры данного распределения. В качестве рекомендаций предлагается считать, что резерв убытков имеет нормальное или логнормальное распределение. Логнормальное более предпочтительно, т.к. по определению не может принимать отрицательных значений (как и резерв убытков). 

Метод bootstrap

В основе метода лежат две идеи. Первая состоит в том, что имея один фактический треугольник развития, мы можем путем определенного рода симуляций создать достаточно много «схожих» с ним треугольников. «Схожесть» в том смысле, что все эти треугольники являются случайными (и равновероятными) возмущениями одного и того же «правильного» треугольника. Таким образом, если в начале у нас был только один треугольник («как оно случилось на самом деле»), то после проведения симуляций мы сможем получить несколько тысяч «схожих» треугольников, причем про каждый из них можно будет сказать, что «так тоже могло бы быть». Метод явным образом описывает, как устроены упомянутые симуляции, а также предлагает несколько модификаций процесса.

Вторая идея метода заключается в том, что истинное распределение случайной величины можно хорошо приблизить к эмпирическим, если число наблюдений достаточно велико. В нашем случае под случайной величиной понимается резерв убытков. Имея несколько тысяч «схожих» треугольников, мы можем сделать несколько тысяч точечных оценок резерва убытков (это и будут наши «наблюдения»), а потом, используя эмпирическую функцию распределения, вычислить все интересующие нас параметры. В частности, точечной оценкой величины резерва убытков будет являться выборочное среднее. 

Сравнение результатов

На рис. 1, 2 представлена эмпирическая плотность распределения резерва убытков, полученная на 10 тыс. симуляциях по методу bootstrap для страхования КАСКО и ОСАГО. Для наглядности на эмпирическую плотность наложены графики нормального и логнормального распределений с математическим ожиданием и дисперсией, равными выборочным средним (т.е. с теми же, которые дает bootstrap). Одновременно на диаграмме приведены графики нормального и логнормального распределения с параметрами, полученными по методу Мака.

Рис. 1. Эмпирическая плотность распределения резерва убытков, полученная на 10 тыс. симуляциях, для страхования ОСАГО

bootstrap – эмпирическая плотность распределения

Нормальное распределение с параметрами bootstrap

Логнормальное распределение с параметрами bootstrap

Нормальное распределение с параметрами метода Мака

Логнормальное распределение с параметрами метода Мака

Рис. 2. Эмпирическая плотность распределения резерва убытков, полученная на 10 тыс. симуляциях, для страхования КАСКО

bootstrap – эмпирическая плотность распределения

Нормальное распределение с параметрами bootstrap

Логнормальное распределение с параметрами bootstrap

Нормальное распределение с параметрами метода Мака

Логнормальное распределение с параметрами метода Мака

Для ОСАГО эмпирическая плотность распределения по методу bootstrap визуально хорошо соответствует как нормальному, так и логнормальному распределениям. Однако на гистограмме заметно, что эмпирическая плотность оказывается несимметричной – она «смещена» вправо. Статистически это проверяется критерием χ² Пирсона: гипотеза о нормальном распределении (с математическим ожиданием и дисперсией, равными выборочным величинам) отклоняется на уровне значимости 0,01 (при прежнем объеме выборки – 10 тыс. симуляций). Зато гипотеза о логнормальном распределении на том же уровне значимости признается не противоречащей исходным данным.

Для КАСКО визуально эмпирическая плотность распределения сильно отклоняется от плотности нормального и логнормального распределений с теми же средним и дисперсией, поэтому в проверке данных статистических гипотез необходимости нет.

В обоих случаях метод Мака дает оценку дисперсии выше, чем bootstrap. На диаграммах это выражается в том, что плотность нормального (или логнормального) распределения с параметрами, полученными по методу Мака, оказывается заметно более «растянутой» по горизонтали. Данный эффект можно немного сгладить, если использовать веса при расчете средневзвешенных факторов развития, уменьшая влияние случайных «выбросов» в исходных данных, однако полностью избавиться от него не удается. Оценки выборочного среднего и дисперсии по методу bootstrap и методу Мака представлены в табл. 3. 

Таблица 3

* Под стандартной ошибкой здесь понимается отношение резерва убытков к корню дисперсии, %.

 Наконец, интервальные оценки резерва убытков для уровня достоверности 95 % также представлены в табл. 3. Для обоих видов страхования оказывается справедливым, что на имеющихся исходных данных нет никакой разницы в том, использовать ли для расчета доверительного интервала нормальное или же логнормальным распределение, результаты оказываются практически идентичными.

Литература

1. Mack, Thomas. Measuring the Variability of Chain Ladder Reserve Estimates. Casualty Actuarial Society 1994: Spring, Vol 1. 101–182 // http://www.casact.org/pubs/forum/94spforum/94spf101.pdf.

2. Julian A Lowe. A practical guide to measuring reserve variability using: bootstrapping, operational time and a distribution-free approach. General Insurance Convention 1994 // http://www.actuaries.org.uk/research-and-resources/documents/practical-guide-measuring-reserve-variability-using-bootstrapping-o.

смотреть комментарии (0)