- Баскаков В.Н., Андреева О.С., Сироткина М.В., Шуплякова А.Ю. "Здоровье нации" // Страховое ревю, 1998. - N9-10, С. 42-48
- Актуарные таблицы: методология построения
Актуарные таблицы: методология построения
В основе построения актуарных таблиц лежит оценка функции распределения, которая, по определению, равна вероятности того, что индивид возраста 0 станет инвалидом к возрасту x и является наиболее полной характеристикой наступления инвалидности. В общем случае задача оценивания далеко не тривиальна в силу специфики изучаемого случайного явления - наступление страхового события, и, как следствие этого, сложности структуры доступной статистической информации.
В нашей, стране в виду изложенных выше проблем со статистикой, эта задача долгое время оставалась неразрешимой. Однако большая важность этой проблемы для страхового рынка предопределила появление ряда работ, в которых риски возникновения смертельно опасных заболеваний (1) (таких как рак, инфаркт миокарда, инсульт, острая почечная недостаточность и др.), а также риски постоянной потери трудоспособности (2) оценивались приближенно, на основе учета соответствующей западной актуарной и российской государственной статистики.
И только применение специальных статистических методов, изложенных в работе [7] (3) в сочетании с качественной статистикой по половозрастному составу инвалидов г. Москвы с учетом тяжести и причины инвалидности, позволило построить первые российские актуарные таблицы по инвалидности свободные от указанных недостатков. Отличительной особенностью этих таблиц является то, что все входящие в них величины оценивались исключительно на основе российской статистической информации, а, следовательно, свободны от неконтролируемых ошибок, неизбежно возникающих при использовании каких-либо априорных предположений. В качестве примера в табл.3 приведена оценка для женщин, инвалидов III группы.
В актуарной практике обычно используют функции производные от , такие как:
- количество лиц из первоначальной группы, не ставших инвалидами до возраста х;
- количество лиц из первоначальной группы, ставших инвалидами в возрасте от хдо х+1 лет;
- вероятность того, что лицо в возрасте хне станет инвалидом до возраста х+1;
- интенсивность наступления инвалидности для лиц в возрасте х.
Эти величины представляют в виде актуарной таблицы (табулируют) с шагом в один год.
Указанные величины легко вычисляются с использованием функции распределения , например, по следующим формулам:
Таблица 3. а) Возраст от 14 до 49 лет | ||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||
b) Возраст от 54 до 89 лет | ||||||||||||||||||
|
При построении актуарных таблиц (см., например, табл. 4) использовалась более сложная технология. В первую очередь это связано с тем, что исходные данные были группированы с шагом в 5 лет, а потому функция оценивалась только на границах интервалов группировки. Кроме того, полученные на их основе зависимости условных вероятностей потребовали применения процедуры сглаживания. Применяемый вид аппроксимирующей кривой очень сильно зависел от ряда факторов (пола, группы инвалидности и класса болезней) и это потребовало "индивидуального" подхода практически к каждой таблицы. В качестве примера на рис.2 приведена зависимость условной вероятности от возраста для женщин, инвалидов III группы и соответствующая аппроксимирующая кривая, которая задается семью параметрами. Справедливости ради следует отметить, что в ряде случаев использовалась весьма простая аппроксимация в виде экспоненты .
Таблица 4. Актуарная таблица общей инвалидности в г. Москве, 1996 г. (III группа инвалидности, женщины).
x |
(al)ix |
(ad)ix |
(ap)ix |
(aq)ix |
(am)ix |
14 |
99849,400 |
12,186 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
15 |
99837,214 |
12,185 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
16 |
99825,030 |
12,183 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
17 |
99812,846 |
12,182 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
18 |
99800,665 |
12,180 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
19 |
99788,485 |
12,179 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
20 |
99776,306 |
12,177 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
21 |
99764,129 |
12,176 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
22 |
99751,954 |
12,174 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
23 |
99739,780 |
12,173 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012205 |
24 |
99727,607 |
12,171 |
0,99987796 |
0,00012204 |
0,00012200 |
25 |
99715,436 |
12,229 |
0,99987736 |
0,00012264 |
0,00012218 |
26 |
99703,207 |
12,437 |
0,99987526 |
0,00012474 |
0,00012344 |
27 |
99690,770 |
12,801 |
0,99987159 |
0,00012841 |
0,00012631 |
28 |
99677,969 |
13,330 |
0,99986627 |
0,00013373 |
0,00013080 |
29 |
99664,639 |
14,025 |
0,99985927 |
0,00014073 |
0,00013696 |
30 |
99650,613 |
14,890 |
0,99985057 |
0,00014943 |
0,00014480 |
31 |
99635,723 |
15,924 |
0,99984018 |
0,00015982 |
0,00015436 |
32 |
99619,799 |
17,124 |
0,99982810 |
0,00017190 |
0,00016560 |
33 |
99602,674 |
18,485 |
0,99981441 |
0,00018559 |
0,00017850 |
34 |
99584,189 |
19,999 |
0,99979917 |
0,00020083 |
0,00019298 |
35 |
99564,190 |
21,656 |
0,99978249 |
0,00021751 |
0,00020896 |
36 |
99542,534 |
23,441 |
0,99976451 |
0,00023549 |
0,00022632 |
37 |
99519,093 |
25,337 |
0,99974540 |
0,00025460 |
0,00024490 |
38 |
99493,755 |
27,325 |
0,99972536 |
0,00027464 |
0,00026452 |
39 |
99466,430 |
29,380 |
0,99970463 |
0,00029537 |
0,00028495 |
x |
(al)ix |
(ad)ix |
(ap)ix |
(aq)ix |
(am)ix |
40 |
99437,051 |
31,475 |
0,99968347 |
0,00031653 |
0,00030595 |
41 |
99405,576 |
33,580 |
0,99966219 |
0,00033781 |
0,00032723 |
42 |
99371,996 |
35,661 |
0,99964113 |
0,00035887 |
0,00034847 |
43 |
99336,334 |
37,682 |
0,99962066 |
0,00037934 |
0,00036930 |
44 |
99298,652 |
39,604 |
0,99960116 |
0,00039884 |
0,00038936 |
45 |
99259,048 |
41,385 |
0,99958306 |
0,00041694 |
0,00040824 |
46 |
99217,663 |
42,981 |
0,99956680 |
0,00043320 |
0,00042550 |
47 |
99174,682 |
44,349 |
0,99955282 |
0,00044718 |
0,00044071 |
48 |
99130,333 |
45,443 |
0,99954158 |
0,00045842 |
0,00045340 |
49 |
99084,889 |
46,219 |
0,99953354 |
0,00046646 |
0,00046312 |
50 |
99038,670 |
46,633 |
0,99952914 |
0,00047086 |
0,00046941 |
51 |
98992,037 |
46,643 |
0,99952882 |
0,00047118 |
0,00047184 |
52 |
98945,394 |
46,209 |
0,99953298 |
0,00046702 |
0,00046999 |
53 |
98899,185 |
45,297 |
0,99954199 |
0,00045801 |
0,00046346 |
54 |
98853,888 |
43,874 |
0,99955617 |
0,00044383 |
0,00045191 |
55 |
98810,014 |
41,914 |
0,99957581 |
0,00042419 |
0,00043503 |
56 |
98768,100 |
39,397 |
0,99960112 |
0,00039888 |
0,00041258 |
57 |
98728,702 |
36,309 |
0,99963224 |
0,00036776 |
0,00038437 |
58 |
98692,394 |
32,642 |
0,99966926 |
0,00033074 |
0,00035030 |
59 |
98659,752 |
28,396 |
0,99971219 |
0,00028781 |
0,00031030 |
60 |
98631,356 |
23,578 |
0,99976095 |
0,00023905 |
0,00026443 |
61 |
98607,778 |
18,202 |
0,99981541 |
0,00018459 |
0,00021278 |
62 |
98589,576 |
12,290 |
0,99987534 |
0,00012466 |
0,00015553 |
63 |
98577,286 |
5,869 |
0,99994047 |
0,00005953 |
0,00009207 |
64 |
98571,417 |
0,000 |
1,00000000 |
0,00000000 |
0,00002434 |
1 Сухинин В.Ю., Плаксина Н.Н. Страхование на случай возникновения смертельно-опасных заболеваний // Страховое дело, 1997. - N12.
2 Конор П., Плаксина Н.Н., Сухинин В.Ю. Страхование на случай постоянной потери трудоспособности // Страховое дело, 1998 - N1
3 Baskakov V.N. On one analogue of empirical distribution for multivariate censor date // J. of Math. Science, 1996. - Vol. 81, N4